桁架計算涵蓋荷載與桿件受力等多方面，荷載計算包括靜載荷、動載荷、風載荷、地震荷等，有各自公式且應用廣泛，涉及建筑工程等諸多領域，桿件受力計算常用力法，通過建立平衡方程求解內力，實際中需考慮節(jié)點類型等因素，計算時工程師要綜合考量，確保結構安全可靠。

在建筑、橋梁、舞臺搭建等眾多工程領域中，桁架結構因其高效的材料利用和卓越的承載能力而被廣泛應用，作為結構工程師、建筑師或相關領域的技術人員，掌握桁架的計算公式是必不可少的專業(yè)技能，本文將系統(tǒng)性地介紹桁架計算的基本原理、常用公式、計算方法以及實際應用中的注意事項,幫助讀者全面理解桁架結構的力學行為。

桁架結構的基本概念

1 什么是桁架

桁架是由若干直桿在兩端通過鉸接連接而成的幾何不變體系,理想桁架滿足以下假設條件：

• 所有桿件均為二力桿，只承受軸向力（拉力或壓力）
• 所有節(jié)點均為理想鉸接，不傳遞彎矩
• 外力僅作用于節(jié)點上

2 桁架的分類

根據(jù)幾何組成方式,桁架可分為：

• 簡單桁架：由基礎三角形開始，每次增加兩根桿件和一個節(jié)點構成
• 聯(lián)合桁架：由幾個簡單桁架按幾何不變體系規(guī)則連接而成
• 復雜桁架：不滿足上述兩種條件的桁架

根據(jù)外形特征,常見桁架類型包括：

• 三角形桁架
• 梯形桁架
• 平行弦桁架
• 拱形桁架
• 空間桁架

桁架計算的基本原理

1 靜定與超靜定桁架

• 靜定桁架：滿足m=2n-3（平面桁架）或m=3n-6（空間桁架），其中m為桿件數(shù)，n為節(jié)點數(shù)
• 超靜定桁架：桿件數(shù)多于上述關系式確定的數(shù)目

靜定桁架的內力可通過平衡方程完全確定,而超靜定桁架還需考慮變形協(xié)調條件。

2 桁架計算的基本假設

1. 所有桿件均為直桿，軸線位于同一直線上
2. 節(jié)點為理想鉸接，無摩擦力
3. 外力僅作用于節(jié)點上
4. 桿件自重可忽略或平均分配到兩端節(jié)點

桁架內力計算的常用方法

1 節(jié)點法（Method of Joints）

基本原理：依次取各節(jié)點為隔離體，利用平面匯交力系的平衡條件（ΣFx=0，ΣFy=0）求解桿件內力。

計算步驟：

1. 求支座反力
2. 從不多于兩個未知力的節(jié)點開始
3. 逐個節(jié)點建立平衡方程
4. 按相同順序求解其他節(jié)點

示例： 對于簡單三角形桁架節(jié)點A：

ΣFx=0: F_AB + F_AC*cosθ = 0
ΣFy=0: F_AC*sinθ + R_Ay = 0

2 截面法（Method of Sections）

基本原理：用假想截面將桁架分為兩部分，取其中一部分為隔離體，利用平面一般力系的平衡條件（ΣFx=0，ΣFy=0，ΣM=0）求解被截桿件內力。

適用情況：只需計算少數(shù)指定桿件內力時效率較高。

計算步驟：

1. 求支座反力
2. 選擇適當截面切斷不超過三根桿件
3. 取一部分為隔離體
4. 建立平衡方程求解

力矩中心選擇技巧：使多個未知力交于一點,對該點取矩可減少方程中的未知量。

3 圖解法的基本原理

對于簡單桁架，可通過力多邊形圖解法求解內力，但精度較低,現(xiàn)代工程中已較少使用。

桁架計算的詳細公式

1 軸向力計算公式

對于任何桁架桿件,軸向力N的基本計算公式為：

N = σ*A = E*ε*A

• σ：軸向應力
• A：桿件截面積
• E：彈性模量
• ε：軸向應變

2 節(jié)點平衡方程

對平面桁架任一節(jié)點i：

ΣFx_i = 0: Σ(N_j*cosα_j) + Fx_i = 0
ΣFy_i = 0: Σ(N_j*sinα_j) + Fy_i = 0

• N_j：與節(jié)點i相連的第j根桿件的軸力（拉力為正）
• α_j：桿件j與x軸的夾角
• Fx_i, Fy_i：節(jié)點i上的外荷載分量

3 支座反力計算

簡支桁架支座反力公式：

ΣM_A = 0: R_By*L - Σ(P_i*d_i) = 0 ? R_By = Σ(P_i*d_i)/L
ΣFy = 0: R_Ay + R_By - ΣP_i = 0 ? R_Ay = ΣP_i - R_By

• L：桁架跨度
• d_i：荷載P_i距支座A的水平距離

4 桿件長度變化計算

溫度變化引起的長度變化：

ΔL = α*L*ΔT

• α：線膨脹系數(shù)
• ΔT：溫度變化量

受力引起的彈性變形：

ΔL = (N*L)/(E*A)

5 空間桁架的計算公式

空間桁架節(jié)點平衡方程：

ΣFx_i = 0, ΣFy_i = 0, ΣFz_i = 0

靜定條件：

m = 3n - 6

桿件方向余弦：

l = (x_j-x_i)/L, m = (y_j-y_i)/L, n = (z_j-z_i)/L

特殊桁架的計算方法

1 復雜桁架的計算

對于不符合簡單桁架規(guī)則的復雜桁架,可采用：

• 替換桿法：用一根桿件替換原有結構，比較兩種狀態(tài)下的變形
• 零載法：分析可能的自應力狀態(tài)

2 超靜定桁架的計算

超靜定次數(shù)k = m - (2n - 3)（平面桁架）

常用解法：

1. 力法：取冗余力為基本未知量
2. 位移法：以節(jié)點位移為基本未知量
3. 矩陣方法：適用于計算機分析

3 考慮節(jié)點剛性的次應力計算

實際工程中節(jié)點非理想鉸接,可采用：

M = (E*I)/d * (Δθ)

• I：桿件截面慣性矩
• d：桿件長度
• Δθ：相鄰桿件轉角差

桁架計算的實用技巧

1 快速判斷零力桿

以下情況桿件內力為零：

1. 兩桿節(jié)點無外力，且兩桿不共線
2. 三桿節(jié)點無外力，其中兩桿共線
3. 兩桿節(jié)點外力沿一桿方向

2 對稱性利用

對稱結構在對稱荷載作用下：

• 對稱軸上的桿件：垂直于對稱軸的分量為零
• 對稱位置桿件內力相同

反對稱荷載作用下：

• 對稱軸上的桿件：沿對稱軸方向分量為零
• 對稱位置桿件內力大小相等，符號相反

3 單位荷載法的應用

計算特定節(jié)點位移時：

1. 在原荷載下求各桿內力N
2. 在所求位移方向加單位力,求相應內力N?
3. 位移Δ = Σ(NN?L)/(E*A)

計算機輔助桁架計算

現(xiàn)代工程中多采用專業(yè)軟件如：

• SAP2000
• ANSYS
• STAAD.Pro
• MIDAS Civil

計算流程：

1. 建立幾何模型
2. 定義材料屬性
3. 施加約束和荷載
4. 求解并分析結果

矩陣位移法基本方程：

[K]{Δ} = {F}

• [K]：整體剛度矩陣
• {Δ}：節(jié)點位移向量
• {F}：節(jié)點力向量

工程應用中的注意事項

1 實際桁架與理想假設的差異

需考慮：

• 節(jié)點剛性影響
• 非節(jié)點荷載的等效處理
• 桿件初彎曲
• 連接件剛度

2 穩(wěn)定性驗算

受壓桿件需進行穩(wěn)定性驗算：

N_cr = π2EI/(KL)2

• K：有效長度系數(shù)
• L：桿件幾何長度

3 動力特性分析

重要桁架需考慮：

• 自振頻率：ω = √(K/M)
• 風振響應
• 地震作用

案例分析：簡單屋頂桁架計算

1 問題描述

跨度6m，高度2m的三角形桁架，節(jié)點荷載P=10kN,求各桿內力。

2 計算步驟

1. 幾何參數(shù)：

   斜桿長度L = √(32 + 22) = 3.605m